*** MARATON ***

Soru 25*

 
Picture of Murat Yogurtcu
Soru 25*
by Murat Yogurtcu - Wednesday, 30 June 2021, 4:21 PM
 

Üst üste \( 300 \) kart var. \( 100 \) tanesi beyaz, \( 100 \) tanesi siyah, \( 100 \) tanesi kırmızı. Her bir beyaz kartın altındaki siyah kartlar sayılıyor ve bulunan sayıların toplamı \( x \) tir. Her bir siyah kartın altındaki kırmızı kartlar sayılıyor ve bulunan sayıların toplamı \( y \) dir. Her bir kırmızı kartın altındaki beyaz kartlar sayılıyor ve bulunan sayıların toplamı \( z \) dir. \( x+y+z \) en çok kaçtır?

A) \( 19800 \)
B) \( 19900 \)
C) \( 20000 \)
D) \( 20100 \)
E) \( Hiçbiri \)


Picture of Hakan Gökdoğan
Ynt: Soru 25*
by Hakan Gökdoğan - Friday, 2 July 2021, 1:43 PM
 

Beyazları B, kırmızıları K, siyahları S ile gösterelim. Bu kart dizisine 100 tane B,K,S'den oluşan bir harf dizisi olarak bakalım. Dizide KB varsa, bunu BK olarak değiştirmek \(x,y\)'yi değiştirmez fakat \(z\)'yi artırır. Benzer şekilde SK varsa bunu KS olarak değiştirmek toplamı artırır ve BS varsa bunu SB olarak değiştirmek yine toplamı artırır. 

Yani dizimizi sırayla giden B,K,S grupları şeklinde düşünebiliriz. (Örneğin BBKKKKSBBBBKKSSSSS... gibi)

1. B grubunda \(x_1\) tane B, 1. K grubunda \(y_1\) tane K, 1.S grubunda \(z_1\) tane S, 2.B grubunda \(x_2\) tane B, 2. K grubunda \(y_2\) tane K, 2. S grubunda ise \(z_2\) tane K bulunsun. \( x_1 \rightarrow x_1 + 1 , x_2 \rightarrow x_2 - 1 \) yapmak toplamı \(y_1\) kadar artıracaktır. Yani \(x_1 \rightarrow x_1 + x_2 , x_2 \rightarrow 0\) yapmak toplamı artıracaktır. Benzer şekilde diğer B grupları için de aynı şey yapılabileceğinden ilk B grubunda tüm beyazların bulunduğunu varsayabiliriz. Şimdi ise benzer argüman önce K ve sonra S için uygulanırsa, toplamı maksimum yapan dizimiz başta 100 tane B, sonra 100 tane K, sonra ise 100 tane S olan dizidir. Buradan ise cevap \(100 \cdot 100 + 100 \cdot 100 = 20000\) olur.