*** MARATON ***

Soru 16

 
Picture of Murat Yogurtcu
Soru 16
by Murat Yogurtcu - Wednesday, 30 June 2021, 1:06 AM
 

Kaç tane \( n \) tam sayısı içi \( n! \mid 2^a+2^b \) olacak şekilde \( a, b \) pozitif tam sayıları bulunabilir?

A) \( 2 \)
B) \( 3 \)
C) \( 5 \)
D) \( Sonsuz \, \, çoklukta \)
E) \( Hiçbiri \)


Picture of İbrahim Halil Kaplan
Ynt: Soru 16
by İbrahim Halil Kaplan - Wednesday, 30 June 2021, 9:12 AM
 
Cevap: 5. N 7'den büyük eşit olsun 7 2^a+2^b yi bölmelidir. Ama 2'nin kuvvetleri mod 7 de 2 4 1 olduğundan bu mümkün değildir. O zaman n sayısı küçük eşit 6'dır. 0 1 ve 2 değerleri tüm a ve b pozitif tamsayı değerleri için sağlar zaten n=3 için a=1 b=2 n=4 için a=3 b=4 sağlar. N nin 5 ve 6 değerleri için sağlamayacağını gösterelim. 2^a+2^b nin 3 ve 5 e bölünmesi gerekir. Genelliği bozmadan a büyük eşit b olsun 2^b parantezine alırsak ifade 2^b(2^a-b+1) olur 3 ve 5 2^b yi bölemeyeceğinden (2^a-b)+1 i bölmelidir. 3 ün bölmesi için a-b 'nin tek 5 in bölmesi içinse 4k+2 formunda yani çift olması gerekir. bu mümkün olmadığdan 5 ve 6 değerleri için a ve b bulunamaz. Yani cevap 0 1 2 3 4 değerlerinden 5 dir.