*** MARATON ***

Soru 10* (Lise)

 
Picture of Murat Yogurtcu
Soru 10* (Lise)
by Murat Yogurtcu - Tuesday, 29 June 2021, 7:17 PM
 

\( {z^{2021}} + z - 1 \) polinomunun kökleri \( {z_1},{z_2},{z_3}, \dots ,{z_{2021}} \) olsun. Buna göre,  \[ \frac{{z_1^3}}{{{z_1} + 1}} + \frac{{z_2^3}}{{{z_2} + 1}} + \frac{{z_3^3}}{{{z_3} + 1}} +  \cdots  + \frac{{z_{2021}^3}}{{{z_{2021}} + 1}} \] toplamının değeri kaçtır?

A) \( 1010 \)
B) \( 1347 \)
C) \( 2015 \)
D) \( 2020 \)
E) \( Hiçbiri \)


Picture of Mehmet Burak Gönül
Ynt: Soru 10* (Lise)
by Mehmet Burak Gönül - Wednesday, 30 June 2021, 7:34 AM
 

İlk önce bu ifadeden zi^2 toplamını çıkartalım. Vieta formüllerinden bu toplamı 0 bulabiliriz. Yani sorudaki ifade -zi^2/zi+1 toplamına eşit olur. bu ifadeyi de -zi^2+1-1/zi+1 şeklinde yazıp düzenlersek istenen değer 2021-1/(zi+1) toplamı olur. Yani 1/zi+1 toplamını bulmalıyız. Bunu bulmak için de paydaları genişletip vieta formüllerini kullanalım. Vieta formüllerindeki birçok toplam 0'a eşit olduğundan 1/zi+1 toplamının 674'e eşit olduğunu rahatlıkla bulabiliriz. Yani cevap 2021-674=1347 olur.

Picture of Erdem Efe Delen
Ynt: Soru 10* (Lise)
by Erdem Efe Delen - Thursday, 1 July 2021, 10:06 AM
 

Ektedir